যদি 3x+by-1=0 রেখাটি ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2$-8x-2y+4=0 বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাহলে b এর মান কোনটি ?

একটি সরলরেখা যখন একটি বৃত্তকে স্পর্শ করে (tangent হয়), তখন বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হয়। এই ধারণাটি ব্যবহার করে আমরা \(b\) এর মান নির্ণয় করব।

প্রথমে, প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ থেকে কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি।

বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 - 8x - 2y + 4 = 0\)

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) এর সাথে তুলনা করে পাই:

\(2g = -8 \Rightarrow g = -4\)

\(2f = -2 \Rightarrow f = -1\)

\(c = 4\)

বৃত্তের কেন্দ্র \((C) = (-g, -f) = (-(-4), -(-1)) = (4, 1)\)

বৃত্তের ব্যাসার্ধ \((r) = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 - 4}\)

\(r = \sqrt{16 + 1 - 4} = \sqrt{13}\)

এখন, প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ হলো \(3x + by - 1 = 0\)।

বৃত্তের কেন্দ্র \((4, 1)\) থেকে সরলরেখা \(3x + by - 1 = 0\) এর লম্ব দূরত্ব \((D)\) নির্ণয় করি। একটি বিন্দু \((x_1, y_1)\) থেকে \(Ax + By + C = 0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র হলো: \(D = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)

এখানে, \((x_1, y_1) = (4, 1)\), \(A = 3\), \(B = b\), \(C = -1\)।

\(D = \frac{|3(4) + b(1) - 1|}{\sqrt{3^2 + b^2}}\)

\(D = \frac{|12 + b - 1|}{\sqrt{9 + b^2}}\)

\(D = \frac{|11 + b|}{\sqrt{9 + b^2}}\)

যেহেতু সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে।

\(D = r\)

\(\frac{|11 + b|}{\sqrt{9 + b^2}} = \sqrt{13}\)

উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই:

\(\frac{(11 + b)^2}{9 + b^2} = 13\)

\((11 + b)^2 = 13(9 + b^2)\)

\(121 + 22b + b^2 = 117 + 13b^2\)

সব পদ একপাশে নিয়ে আসি এবং সরল করি:

\(13b^2 - b^2 - 22b + 117 - 121 = 0\)

\(12b^2 - 22b - 4 = 0\)

এই সমীকরণটিকে \(2\) দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(6b^2 - 11b - 2 = 0\)

এখন, এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করে \(b\) এর মান নির্ণয় করব। মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:

\(6b^2 - 12b + b - 2 = 0\)

\(6b(b - 2) + 1(b - 2) = 0\)

\((6b + 1)(b - 2) = 0\)

অতএব, \(6b + 1 = 0 \Rightarrow b = -\frac{1}{6}\)

অথবা, \(b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2\)

সুতরাং, \(b\) এর মান হলো \(2\) অথবা \(-\frac{1}{6}\)।